matematyka funkcje

1. Definicja funkcji Funkcja każdemu argumentowi x x przyporządkowuje dokładnie jedną wartość y y. y = f ( x ) y=f(x) x x – argument f ( x ) f(x) – wartość funkcji 2. Dziedzina funkcji D f D f ​ To zbiór argumentów, dla których funkcja jest określona. Wielomian – D f = R D f ​ =R. Ułamek – mianownik ≠ 0  =0. Pierwiastek parzystego stopnia – wyrażenie pod pierwiastkiem ≥ 0 ≥0. Pierwiastek w mianowniku – wyrażenie pod pierwiastkiem > 0 >0. Logarytm – argument > 0 >0. 3. Zbiór wartości W f W f ​ To wszystkie wartości, które może przyjmować funkcja f ( x ) f(x). Przykład: f ( x ) = x 2 f(x)=x 2 D f = R , W f = [ 0 , ∞ ) D f ​ =R,W f ​ =[0,∞) 4. Obliczanie wartości funkcji Podstawiamy liczbę za x x. Przykład: f ( x ) = 2 x + 3 f(x)=2x+3 f ( 2 ) = 2 ⋅ 2 + 3 = 7 f(2)=2⋅2+3=7 5. Miejsca zerowe To argumenty, dla których f ( x ) = 0 f(x)=0. Przykład: 2 x − 6 = 0 ⇒ x = 3 2x−6=0⇒x=3 6. Funkcja liniowa f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b ​ a > 0 a>0 – funkcja rosnąca. a < 0 a<0 – funkcja malejąca. a = 0 a=0 – funkcja stała. Miejsce zerowe: x 0 = − b a x 0 ​ =− a b ​ , gdy a ≠ 0 a  =0. b b – punkt przecięcia z osią O Y OY ma współrzędne ( 0 , b ) (0,b). 7. Funkcja kwadratowa f ( x ) = a x 2 + b x + c , a ≠ 0 f(x)=ax 2 +bx+c,a  =0 ​ Wykresem jest parabola. Delta: Δ = b 2 − 4 a c Δ=b 2 −4ac Δ > 0 Δ>0 – dwa miejsca zerowe. Δ = 0 Δ=0 – jedno miejsce zerowe. Δ < 0 Δ<0 – brak rzeczywistych miejsc zerowych. Wierzchołek: x W = − b 2 a x W ​ =− 2a b ​ y W = − Δ 4 a y W ​ =− 4a Δ ​ a > 0 a>0 – ramiona w górę, minimum. a < 0 a<0 – ramiona w dół, maksimum. 8. Monotoniczność Rosnąca – gdy x x rośnie, f ( x ) f(x) rośnie. Malejąca – gdy x x rośnie, f ( x ) f(x) maleje. Stała – wartość funkcji się nie zmienia. 9. Znak funkcji f ( x ) > 0 f(x)>0 – funkcja dodatnia. f ( x ) < 0 f(x)<0 – funkcja ujemna. f ( x ) = 0 f(x)=0 – miejsce zerowe. Na wykresie: Nad osią O X OX – wartości dodatnie. Pod osią O X OX – wartości ujemne. Na osi O X OX – miejsca zerowe. 10. Przekształcenia wykresów f ( x ) + 2 f(x)+2 – przesunięcie w górę o 2. f ( x ) − 2 f(x)−2 – przesunięcie w dół o 2. f ( x − 2 ) f(x−2) – przesunięcie w prawo o 2. f ( x + 2 ) f(x+2) – przesunięcie w lewo o 2. − f ( x ) −f(x) – odbicie względem osi O X OX. f ( − x ) f(−x) – odbicie względem osi O Y OY. 11. Funkcja parzysta i nieparzysta Parzysta: f ( − x ) = f ( x ) f(−x)=f(x) – symetria względem osi O Y OY. Nieparzysta: f ( − x ) = − f ( x ) f(−x)=−f(x) – symetria względem początku układu współrzędnych. 12. Inne funkcje Wartość bezwzględna: f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=∣x∣. Pierwiastkowa: f ( x ) = x f(x)= x ​ . Proporcjonalność odwrotna: f ( x ) = a x , a ≠ 0 f(x)= x a ​ , a  =0. Wykładnicza: f ( x ) = a x , a > 0 , a ≠ 1 f(x)=a x , a>0, a  =1. Najważniejsze do zapamiętania! Dziedzina – jakie x x są dozwolone? Zbiór wartości – jakie y y funkcja przyjmuje? Miejsce zerowe – rozwiązujesz f ( x ) = 0 f(x)=0. Wartość funkcji – podstawiasz liczbę za x x. Funkcja liniowa – f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b. Funkcja kwadratowa – delta i wierzchołek. Wykres – odczytujesz miejsca zerowe, znak i monotoniczność.